明渠水理計算APP_曼寧公式_適用矩形渠道或梯形渠道

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 明渠水理計算_曼寧公式

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       明渠水理計算小工具是依曼寧公式所製作，可以提供設計者在已知流量Q條件下計算出水深D，並依此來設計明渠之渠牆高度，在現場也可以根據水深D計算出流量Q，以了解該渠道之通水能力。

       程式對於左右坡度不對稱之渠道，也能通過左右m值來描述其坡度，預設之m=0為垂直狀態，圖示中1:m代表垂直為1，水平為m。

水理計算範例(適用:矩形渠道或梯形渠道)

************************************************************************************

                                       明渠水理計算

一、已知條件:

        Q=5.0cms    B=3.0m   S=0.001  n=0.016

        mL=0(左岸邊坡比)           mR=0(右岸邊坡比)    註:矩形渠道邊坡比為0

二、由曼寧公式及通水面積以試誤法求解

        

        曼寧公式:Q=1/n*R^(2/3)*S^(1/2)*A......................(1)

        水力半徑:R=A/P ......................................................(2)   

         (A:通水面積  P:濕周)

        令 T=Q*n/[S^(1/2)]...................................................(3)

        則(1)式可簡化為 T=R^(2/3)*A

            (2)式帶入上式

                 T=(A/P)^(2/3)*A=A^(5/3)/[P^(2/3)]              

                由上式可導出 A^(5/3)=T*P^(2/3)

                =>  A=T^(3/5)*P^(2/5).........................................(4)

        

        濕周P=B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2)......(5)  其中x為假設水深 

        通水面積:A=x*[0.5(2B+mL*x+mR*x)]......................(6)        

       (5)式及(6)式代入(4)式

       => x*[0.5(2B+mL*x+mR*x)]=T^(3/5)*[B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2)]^(2/5)

      整理上式  

       x={T^(3/5)*[B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2)]^(2/5)}/[0.5(2B+mL*x+mR*x)]

      令上式左側之x為欲求解水深，以d取代 

      

      d={T^(3/5)*[B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2)]^(2/5)}/[0.5(2B+mL*x+mR*x)]....(7)

     

     試誤法求解 

     1.假設水深為x=5m，代入(7)式等號右側，並計算出d值

     2.比較 |d-x| 之差值，若  |d-x|>允許誤差值(例如允許誤差值=0.00001)

      則令計算出之d為新的x，代入(7)式計算新的d

     3.若  |d-x|<允許誤差值，則d為近似解，否則重複執行步驟2.

三、計算結果

      d=1.130m      A=3.390m^2

      P=5.260m      R=0.645m

      V=1.475m/s 

      其中d=水深  A=通水面積 P=濕周 R=水力半徑  V=Q/A=流速

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註:上述紅字部分，讀者可依不同水理條件輸入

 明渠水理計算_曼寧公式 

APP計算後，將計算結果貼上置換。

圖例區及計算結果區可上下滑動觀看後續資料。

Example of hydraulic calculation (applicable: rectangular channel or trapezoidal channel)

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OPEN CHANNEL HYDRAULIC CALCULATION

1. Known conditions:

        Q= 5.0 cms B= 3.0 m S= 0.001  n= 0.016

        mL= 0 (left bank slope ratio) mR= 0 (right bank slope ratio) 

Note: the slope ratio of a rectangular channel is 0

2. Solve by trial and error method by Manning's formula and water flow area

        

        Manning's formula: Q=1/n*R^(2/3)*S^(1/2)*A..........( 1)

        Hydraulic Radius: R=A/P ................................................ ............(2)   

         (A: water flow area P: wet area)

        Let T=Q*n/[S^(1/2)].......................... ..............(3)

        Then formula (1) can be simplified as T=R^(2/3)*A

            Bring (2) into the above formula

                 T=(A/P)^(2/3)*A=A^(5/3)/[P^(2/3)]              

                A^(5/3)=T*P^(2/3) can be derived from the above formula

                => A=T^(3/5)*P^(2/5).......................... .........(4)

        

        Wet area P=B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2)......(5) 

                where x is the assumed water depth 

        

       Water flow area: A=x*[0.5(2B+mL*x+mR*x)]..........(6)        

       Substitute (5) and (6) into (4)

       => x*[0.5(2B+mL*x+mR*x)]=T^(3/5)*[B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2 )]^(2/5)

      Organize the above formula  

       x={T^(3/5)*[B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2)]^(2/5)}/[0.5(2B+mL *x+mR*x)]

      Let x on the left side of the above formula be the water depth to be solved, and replace it with d 

      

      d={T^(3/5)*[B+x*SQRT(1+mL^2)+x*SQRT(1+mR^2)]^(2/5)}/[0.5(2B+mL *x+mR*x)]....(7)

     

     Trial and error solution 

     1. Assuming that the water depth is x=5m, substitute it into the right side of the equation (7) and calculate the value of d

     2. Compare the difference between |d-x|, if |d-x|> allowable error value (for example, allowable error value=0.00001)

      Then let the calculated d be the new x, and substitute it into (7) to calculate the new d

     3. If |d-x|<allowable error value, then d is an approximate solution, otherwise repeat step 2.

3. Calculation results

      d= 1.130 m A= 3.390 m^2

      P= 5.260 m R= 0.645 m

      V= 1.475 m/s 

      Among them, d=water depth,  A=water flow area, P=wet area, R=hydraulic radius,

      V=Q/A=flow velocity

**************************************************************************************

Note: For the part in red above, readers can input according to different water conditions

 Open channel hydraulic calculation_Manning formula 

After the APP calculates, paste the calculation result as a replacement.

明渠水理計算APP_曼寧公式 複式斷面程式設計之計算方法說明

 

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基本假設

   有關流速之基本假設有兩個方向:

    1.假設全斷面之流速，無論處於深槽或淺槽，其流速皆相同，直接引用曼寧公式，以平均糙率計算出平均流速，再乘以總區段面積，求解總區段之流量。

    2.假設深槽及淺槽之流速各不相同，採用分區方式計算，各區段採不同之糙率，計算出各區段之流速，再乘以各區段面積，以求得各區段之流量，加總後獲得總區段之流量。

 計算結果比較

    相同水深下，兩種假設所得到的流量並不相同，假設1.的計算結果，遠小於假設2.的計算結果。

 原因分析

    實際上複式斷面之水流情況比較接近假設2，尤其在淺槽水深與深槽水深的比值越小，而且淺槽底寬越大時，實際流量會集中於深槽中，故假設2所得到的計算結果會比較接近實際狀況。

 本程式採用假設2.方式求解

   曼寧公式:  Q=1/n*R^(2/3)*S^(1/2)*A    ----------(1)

   水力半徑:  R=A/P    ----------------------------------(2)

 

   (2)帶入(1):  Q=1/n*A^(5/3)*S^(1/2)/P^(2/3)  ----(3)

   令左淺槽流量為q1，中間之深槽流量為q2，右淺槽流量為q3:

   q1=1/n1*A1^(5/3)*S^(1/2)/P1^(2/3)   -------------(4)

   q2=1/n2*A2^(5/3)*S^(1/2)/P2^(2/3)   -------------(5)

   q3=1/n3*A3^(5/3)*S^(1/2)/P3^(2/3)   -------------(6) 

其中:

   Q(cms)=流量    n=糙率(曼寧係數)    R(m)=水力半徑    S=坡度(均勻流時等於渠底坡度)

   A(m2)=通水面積     P(m)=濕周

已知水深D求解流量Q模式

1.由已知水深D配合深槽左右兩側坡之高度yL及yR，以梯形及矩形面積計算方法，分別求出各區段之A1、A2、A3之面積，並以水深D配合各區段之邊坡比，求出各段之濕周P1、P2、P3。

2.直接帶入(4)、(5)、(6)式，以求得各區段之流量q1、q2、q3後，加總後得:    

   總流量Q=q1+q2+q3。

已知流量Q求解水深D模式

1.基本上可以採用試誤法，以假設水深D帶入(4)、(5)、(6)式求解，並比較計算值Q與已知Q之間得差異，調整D值的大小，以求的近似解。

2.本程式以牛頓法求解:

令  起算水深為Y1  

f(Y1)=q1(Y1)+q2(Y1)+q3(Y1)-Q   -------------------(7)

令 h=0.000001

f '(Y1)=[ f(Y1+h)-f(Y1-h) ]/(2h)     -------------------(8)

以牛頓法求解

Y2=Y1-f(Y1)/f '(Y1)   ----------------------------------(9)

比較Y2與Y1的差值，若差值小於設定之誤差精度(例如0.0000001)，則Y2為所求得之近似解。

若差值大於誤差精度，則以Y2取代Y1並帶入(9)式繼續求解Y2。

計算結果請上下滑動，以查看後續資料。

    

明渠水理計算APP內增加的小工具

 

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目前增設的小工具包括:

1.線性內插法(外插也適用)

2.雷諾數

3.福祿數

4.下射式閘門水躍

5.共軛水深(水躍)

6.矩形堰

7.下射式閘門 作用力及流量

 

1.linear interpolation

2.reynold number

3.froude number

4.sluice gate hydraulic jump

5.conjugate depth 

6.rectangular weir

7.sluice gate force and flow rate

線性內插法計算方式(linear interpolation)

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一、已知一線段上之兩點座標

點1:(X1,Y1) 點2:(X2,Y2)

二、求解同一線段上X位置之Y

值

三、以同一線段之斜率應相同之原理進行計算

(X1-X2)/(Y1-Y2)=(X-X2)/(Y-Y2)

=>(Y-Y2)=(X-X2)*(Y1-Y2)/(X1-X2)

=>Y=(X-X2)*(Y1-Y2)/(X1-X2)+Y2......(A)

四、例已知點1(2,4), 點2(4,8),求解點3(3,Y)之Y值

將已知條件代入(A)式

Y=(3-4)*(4-8)/(2-4)+8=(-2)+8=6

故點3之座標為(3,6)

五、(A)式應用於外插時亦適用

1. Given the coordinates of two points on a line segment

Point 1: (X1, Y1) Point 2: (X2, Y2)

2. Solve the Y of the X position on the same line segment

value

3. Calculation based on the principle that the slopes of the same line segment should be the same

(X1-X2)/(Y1-Y2)=(X-X2)/(Y-Y2)

=>(Y-Y2)=(X-X2)*(Y1-Y2)/(X1-X2)

=>Y=(X-X2)*(Y1-Y2)/(X1-X2)+Y2......(A)

4. Example: given point 1(2,4), point 2(4,8), find the Y value of point 3(3,Y)

Substitute known conditions into (A) formula

Y=(3-4)*(4-8)/(2-4)+8=(-2)+8=6

Therefore, the coordinates of point 3 are (3,6)

5. Formula (A) is also applicable when it is applied to extrapolation

雷諾數（Reynolds number,Re）

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雷諾數（Reynolds number，Re）

在流體力學中，為慣性力與黏滯力的比值，公式如下：

Re=(ρVD)/μ

1.當流速較小時，黏滯力的特性較慣性力明顯，流體呈現層流狀況。

2.當流速大時，慣性力的特性比黏滯力明顯時，流體呈現紊流狀況。

3.層流:雷諾數

4.亂流:

5.過渡流:介於2100～4000

福祿數（Froude number,Fr）

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福祿數（Froude number,Fr）

在流體力學中，為慣性力與重力的比值，公式如下：

Fr=V/√(gD)

式中V為流體速度，D為物體特徵長度，g為重力加速度。

在明渠中特徵長度D為通水面積A與水面寬度T之比。所以在矩形渠道中特徵長度D等於水深H，但在梯形渠道中則小於水深H。

• 當Fr > 1 為超臨界流，為流速湍急，水深小的流況，渠道坡度大。
• 當Fr < 1 為亞臨界流，為流速緩慢，水深大的流況，渠道坡度小。
• 當Fr = 1 為臨界流。

                                                                         

   

下射式閘門水躍(Undershoot gate water jump)

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例題

已知條件:y0=1m，y1=0.1m

連續方程式(C.E.)：V0*y0=V1*y1

        ==> V0=V1*y1/y0=0.1*V1 

        ==> V0^2=0.01*V1^2 ...............................(1)                                         

能量方程式(E.E.)：V0^2/(2g)+y0=V1^2/(2g)+y1

        ==>(V1^2-V0^2)/(2g)=y0-y1.....................(2)

        由(1)式可知，V0^2為V1^2之0.01，可省略

不計，故(2)式可簡化為

        ==>V1^2/(2g)=y0-y1=1-0.1=0.9

        ==>V1=SQRT(2*9.81*0.9)=4.202(m/s)

依水躍共軛水深公式：

y2=0.5*y1*{-1+SQRT[1+8*V1^2/(g*y1)]}

    =0.5*0.1*{-1+SQRT[1+8*4.202^2/(9.81*0.1)]}

    =0.552(m)

水躍能量損失:

△ E=(y2-y1)^3/(4*y1*y2)

      =(0.552-0.1)^3/(4*0.1*0.552)

      =0.418(m)

 

Undershoot gate water jump

example

Known conditions: y0=1m, y1=0.1m

Continuity Equation (CE): V0*y0=V1*y1

        ==> V0=V1*y1/y0=0.1*V1 

        ==> V0^2=0.01*V1^2 ............................(1)                                         

Energy Equation (EE): V0^2/(2g)+y0=V1^2/(2g)+y1

        ==>(V1^2-V0^2)/(2g)=y0-y1..........(2)

        It can be seen from formula (1) that V0^2 is 0.01 of V1^2 and can be omitted

Neglected, so (2) can be simplified as

        ==>V1^2/(2g)=y0-y1=1-0.1=0.9

        ==>V1=SQRT(2*9.81*0.9)=4.202(m/s)

According to the water jump conjugate water depth formula:

y2=0.5*y1*{-1+SQRT[1+8*V1^2/(g*y1)]}

    =0.5*0.1*{-1+SQRT[1+8*4.202^2/(9.81*0.1)]}

    =0.552(m)

Hydraulic jump energy loss:

△ E=(y2-y1)^3/(4*y1*y2)

      =(0.552-0.1)^3/(4*0.1*0.552)

      =0.418(m)

共軛水深，水躍(conjugate water depth, hydraulic jump)

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例題

已知條件：y1=0.3m，V1=4.5m/s

Fr1=V1/SQRT(g*y1)=4.5/SQRT(9.81*0.3)=2.6231

依據水躍共軛水深公式：

y2=y1*0.5*[-1+SQRT(1+8*Fr1^2)]=0.9730(m)

依據連續方程式:V1*y1=V2*y2

==> V2=V1*y1/y2=4.5*0.3/0.9730=1.3875(m/s)

Fr2=V2/SQRT(g*y2)=1.3875/SQRT(9.81*0.9730)=0.4491

example

Known conditions: y1=0.3m, V1=4.5m/s

Fr1=V1/SQRT(g*y1)=4.5/SQRT(9.81*0.3)=2.6231

According to the hydraulic jump conjugate water depth formula:

y2=y1*0.5*[-1+SQRT(1+8*Fr1^2)]=0.9730(m)

According to the Continuity equation: V1*y1=V2*y2

==> V2=V1*y1/y2=4.5*0.3/0.9730=1.3875(m/s)

Fr2=V2/SQRT(g*y2)=1.3875/SQRT(9.81*0.9730)=0.4491

矩形堰(rectangular weir)

 

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例題

已知條件：H=0.3m ， P=1m ，B=10m

 

依據Rehbock(1929)：

H/P=0.3/1=0.3<5(適用條件)

Cd=0.611+0.08*H/P=0+611+0.08*0.3/1=0.635

q=2/3*SQRT(2*g)*Cd*H^(3/2)=0.3081(cms/m)

Q=B*q=3.081(cms)

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example

Known conditions: H=0.3m, P=1m, B=10m

 

According to Rehbock (1929):

H/P=0.3/1=0.3<5 (applicable conditions)

Cd=0.611+0.08*H/P=0+611+0.08*0.3/1=0.635

q=2/3*SQRT(2*g)*Cd*H^(3/2)=0.3081(cms/m)

Q=B*q=3.081(cms)

下射式閘門 作用力及流量( Undershoot gate ,force and flow)

 

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例題

已知條件：y1=3m ， y2=0.3m , B=10m

連續方程式(C.E.)：q=V1*y1=V2*y2

動量方程式(M.E.)：1/2*r*y1^2-1/2*r*y2^2-f=ρ*q*(V2-V1)

==> 1/2*r*(y1^2-y2^2)-f=ρ*q^2*(1/y2-1/y1)

==> f=1/2*r*(y1-y2)/(y1*y2)*[y1*y2*(y1+y2)-2*q^2/g]........(1)

上式中：V1=q/y1 ， V2=q/y2 ， r=ρ*g 

                 q=Q/B(單位寬度流量)

                 f=F/B(單位寬度作用力)

能量方程式(E.E.)：y1+V1^2/(2*g)=y2+V2^2/(2*g)

==> y1-y2=1/(2*g)*(q^2/y2^2-q^2/y1^2)

                 =q^2/(2*g)*(y1-y2)*(y1+y2)/(y1^2*y2^2)

==> q^2/g=2*y1^2*y2^2/(y1+y2) .........................(2)

將(2)式代入(1)式：

f=1/2*r*(y1-y2)/(y1*y2)*[y1*y2*(y1+y2)-4*y1^2*y2^2/(y1+y2)]

==> f=1/2*r*(y1-y2)^3/(y1+y2) .............................(3)

將已知條件代入(3)式：

F=f*B=1/2*(9.81*998)*(3-0.3)^3/(3+0.3)*10=291975.8(N)=291.9758(KN)

依據(2)式：

q=SQRT[2*y1^2*y2^2/(y1+y2)*g]=SQRT[2*3^2*0.3^2/(3+0.3)*9.81]=2.19450(cms/m)

Q=q*B=2.19450*10=21.9450(cms)

V1=q/y1=2.19450/3=0.7315(m/s)

V2=q/y2=2.19450/0.3=7.3150(m/s)

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example

Known conditions: y1=3m, y2=0.3m, B=10m

Continuity equation (CE): q=V1*y1=V2*y2

Momentum equation (ME): 1/2*r*y1^2-1/2*r*y2^2-f=ρ*q*(V2-V1)

==> 1/2*r*(y1^2-y2^2)-f=ρ*q^2*(1/y2-1/y1)

==> f=1/2*r*(y1-y2)/(y1*y2)*[y1*y2*(y1+y2)-2*q^2/g]........ (1)

In the above formula: V1=q/y1, V2=q/y2, r=ρ*g 

                 q=Q/B (flow rate per unit width)

                 f=F/B (force per unit width)

Energy Equation (EE): y1+V1^2/(2*g)=y2+V2^2/(2*g)

==> y1-y2=1/(2*g)*(q^2/y2^2-q^2/y1^2)

                 =q^2/(2*g)*(y1-y2)*(y1+y2)/(y1^2*y2^2)

==> q^2/g=2*y1^2*y2^2/(y1+y2) ...................( 2)

Substituting equation (2) into equation (1):

f=1/2*r*(y1-y2)/(y1*y2)*[y1*y2*(y1+y2)-4*y1^2*y2^2/(y1+y2)]

==> f=1/2*r*(y1-y2)^3/(y1+y2) .......................... ...(3)

Substitute the known conditions into equation (3):

F=f*B=1/2*(9.81*998)*(3-0.3)^3/(3+0.3)*10=291975.8(N)=291.9758(KN)

According to formula (2):

q=SQRT[2*y1^2*y2^2/(y1+y2)*g]=SQRT[2*3^2*0.3^2/(3+0.3)*9.81]=2.19450(cms/m)

Q=q*B=2.19450*10=21.9450(cms)

V1=q/y1=2.19450/3=0.7315(m/s)

V2=q/y2=2.19450/0.3=7.3150(m/s)